Упр.28.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(x-3{,}1)\ln(x^2-10x+22)\ge 0$$; б) $$(x-7{,}3)\ln(x^2-8x+8)\le 0$$.
а) Рассмотрим произведение $$\left(x-3{,}1\right)\ln\left(x^2-10x+22\right)\ge 0.$$
Чтобы произведение было неотрицательным, достаточно, чтобы оба множителя были неотрицательны:
$$x-3{,}1\ge 0,\qquad \ln\left(x^2-10x+22\right)\ge 0.$$
Из первого неравенства получаем $$x\ge 3{,}1.$$
Из второго:
$$\ln\left(x^2-10x+22\right)\ge 0 \iff x^2-10x+22\ge 1,$$
то есть
$$x^2-10x+21\ge 0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$D=100-84=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2},\quad x_1=3,\; x_2=7.$$
Тогда
$$x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\ge 0,$$
откуда
$$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 7.$$
С учётом условия $$x\ge 3{,}1$$ получаем:
$$x\in[7;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство $$\left(x-7{,}3\right)\ln\left(x^2-8x+8\right)\le 0.$$
Чтобы произведение было неположительным, удобно взять случаи, когда множители разных знаков. Для этого найдём, где каждый из них неотрицателен:
$$x-7{,}3\ge 0 \iff x\ge 7{,}3,$$
$$\ln\left(x^2-8x+8\right)\le 0 \iff 0<x^2-8x+8\le 1.$$
Но для решения по знакам достаточно найти область, где логарифм неотрицателен:
$$\ln\left(x^2-8x+8\right)\ge 0 \iff x^2-8x+8\ge 1,$$
то есть
$$x^2-8x+7\ge 0.$$
Решим:
$$D=64-28=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2},\quad x_1=1,\; x_2=7.$$
Тогда
$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)\ge 0,$$
откуда
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 7.$$
С учётом области определения $$x^2-8x+8>0$$ получаем итог:
$$x\in(-\infty;1]\cup[7;7{,}3].$$
Ответ
а) $$x\in[7;+\infty).$$
б) $$x\in(-\infty;1]\cup[7;7{,}3].$$
