Упр.28.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(x-2)\log_4(x+2)\geq 0$$;

б) $$(3-x)\sqrt{\log_3(x+5)}\leq 0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(x-2\right)\log_4(x+2)\ge 0.$$

Найдём область определения: $$x+2>0,\quad x>-2.$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$\log_4(x+2)\ge 0 \iff x+2\ge 1 \iff x\ge -1.$$

Тогда произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

$$\begin{cases} x-2\ge 0,\\ \log_4(x+2)\ge 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x\ge 2,$$

или

$$\begin{cases} x-2\le 0,\\ \log_4(x+2)\le 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad -2<x\le -1.$$

Итак,

$$x\in(-2;\,-1]\cup[2;\,+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(3-x\right)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0.$$

Область определения задаётся условиями:

$$\log_3(x+5)\ge 0,\quad x+5>0.$$

Так как $$3>1,$$ то

$$\log_3(x+5)\ge 0 \iff x+5\ge 1 \iff x\ge -4.$$

Следовательно, на области определения $$\sqrt{\log_3(x+5)}\ge 0.$$

Чтобы произведение было неположительным, достаточно, чтобы

$$3-x\le 0 \iff x\ge 3,$$

или чтобы второй множитель был равен нулю:

$$\sqrt{\log_3(x+5)}=0 \iff \log_3(x+5)=0 \iff x+5=1 \iff x=-4.$$

Тогда

$$x\in\{-4\}\cup[3;\,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-2;\,-1]\cup[2;\,+\infty);$$ б) $$x\in\{-4\}\cup[3;\,+\infty).$$