Упр.28.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^4-8x-6x^3+12x^2\geq 0$$; б) $$x^4+12x<13x^2$$.

а) $$x^4-8x-6x^3+12x^2\ge 0$$

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

$$x^4-6x^3+12x^2-8x=x(x^3-6x^2+12x-8)=x(x-2)^3.$$

Тогда

$$x(x-2)^3\ge 0.$$

Так как степень множителя $$x-2$$ нечётная, знак произведения определяется знаками множителей $$x$$ и $$x-2$$. Получаем:

$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$

б) $$x^4+12x<13x^2$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^4-13x^2+12x<0.$$

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(x^3-13x+12)<0.$$

Разложим кубический многочлен на множители. Подбором корня $$x=1$$ получаем:

$$x^3-13x+12=(x-1)(x^2+x-12)=(x-1)(x+4)(x-3).$$

Тогда

$$x(x+4)(x-1)(x-3)<0.$$

Критические точки: $$-4,\,0,\,1,\,3.$$ По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-4;0)\cup(1;3).$$

Ответ: $$x\in(-4;0)\cup(1;3).$$