Упр.28.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$9(x+2)+4\cdot3(2x+2)\ge 4\frac{1}{3}$$;
   б) $$8(x-2)+3\cdot2(3x-2)\le 24\frac{1}{2}$$.

а) $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}\ge 4\frac13$$

Преобразуем всё к основанию $$3$$:

$$9^{x+2}=3^{2x+4}, \qquad 4\cdot 3^{2x+2}=4\cdot 9\cdot 3^{2x}=36\cdot 3^{2x}.$$

Тогда

$$3^{2x+4}+36\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}.$$

Вынесем $$3^{2x}$$ за скобки:

$$3^{2x}(3^4+36)\ge \frac{13}{3}.$$

$$3^{2x}\cdot 117\ge \frac{13}{3}.$$

$$3^{2x}\ge \frac{13}{351}=\frac{1}{27}=3^{-3}.$$

Так как основание $$3>1$$, получаем:

$$2x\ge -3,$$

$$x\ge -\frac32.$$

б) $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}\le 24\frac12$$

Преобразуем к основанию $$2$$:

$$8^{x-2}=2^{3x-6}, \qquad 3\cdot 2^{3x-2}=3\cdot \frac{2^{3x}}{4}.$$

Тогда

$$2^{3x-6}+3\cdot 2^{3x-2}\le \frac{49}{2}.$$

Вынесем $$2^{3x}$$:

$$2^{3x}\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{4\cdot 4}\right)\le \frac{49}{2}.$$

Удобнее сразу привести к общему знаменателю:

$$2^{3x}\left(\frac{1}{64}+\frac{48}{64}\right)\le \frac{49}{2}.$$

$$2^{3x}\cdot \frac{49}{64}\le \frac{49}{2}.$$

Умножим на $$\frac{64}{49}$$:

$$2^{3x}\le 32=2^5.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$3x\le 5,$$

$$x\le \frac53.$$

Ответ: а) $$x\in\left[-\frac32;+\infty\right)$$; б) $$x\in\left(-\infty;\frac53\right]$$.