Упр.28.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$3\sin^2(x)\ge\cos x$$; б) $$\sqrt{x^2+1}\le\cos x$$; в) $$2\sin^2(x)\le\cos x$$; г) $$\sqrt{x^2+1}\ge\sin x$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$3^{\sin^2 x}\ge \cos x$$

   Так как $$\sin^2 x\ge 0,$$ то

   $$3^{\sin^2 x}\ge 3^0=1.$$

   С другой стороны,

   $$\cos x\le 1.$$

   Значит, $$3^{\sin^2 x}\ge \cos x$$ при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$\sqrt{x^2+1}\le \cos x$$

   Имеем

   $$\sqrt{x^2+1}\ge 1,$$

   а также

   $$\cos x\le 1.$$

   Чтобы неравенство было верным, нужно одновременно

   $$\sqrt{x^2+1}=1 \quad \text{и} \quad \cos x=1.$$

   Из $$\sqrt{x^2+1}=1$$ получаем $$x=0.$$ При этом $$\cos 0=1,$$ значит, подходит.

3. $$3^{\sin^2 x}\le \cos x$$

   Как и в пункте а),

   $$3^{\sin^2 x}\ge 1,$$

   а значит, для выполнения неравенства необходимо

   $$3^{\sin^2 x}=1 \quad \text{и} \quad \cos x=1.$$

   Равенство $$3^{\sin^2 x}=1$$ возможно только при $$\sin^2 x=0,$$ то есть $$x=\pi n,$$ где $$n\in \mathbb{Z}.$$

   Но условие $$\cos x=1$$ выполняется лишь при

   $$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\sqrt{x^2+1}\ge \sin x$$

   Так как

   $$\sqrt{x^2+1}\ge 1,$$

   а также

   $$\sin x\le 1,$$

   то неравенство верно при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

Ответ: а) $$x\in \mathbb{R}$$; б) $$x=0$$; в) $$x=2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; г) $$x\in \mathbb{R}$$.