Упр.28.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

28. 1. $$x^2+1\geq\cos x$$;
    2. $$x^2+1\leq\cos x$$;
    3. $$\sin x\leq-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$;
    4. $$\sin x\geq-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$x^2+1\ge \cos x$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то

   $$x^2+1\ge 1.$$

   С другой стороны, для любого $$x$$ выполняется

   $$\cos x\le 1.$$

   Значит, $$x^2+1\ge \cos x$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Правая часть не превосходит $$-1,$$ так как

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1\le -1.$$

   Но $$\sin x\ge -1.$$

   Равенство возможно только тогда, когда одновременно

   $$\sin x=-1 \quad \text{и} \quad -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1=-1.$$

   Из второго равенства получаем

   $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

   Проверка:

   $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

   $$-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)^2-1=-1.$$

   Следовательно, $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$x^2+1\le \cos x$$

   Имеем $$x^2+1\ge 1,$$ а также $$\cos x\le 1.$$

   Чтобы неравенство выполнялось, нужно

   $$x^2+1=1 \quad \text{и} \quad \cos x=1.$$

   Из $$x^2=0$$ получаем $$x=0.$$

   Проверка: $$\cos 0=1,$$ значит, $$x=0$$ подходит.

4. $$\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Так как $$\sin x\ge -1,$$ а

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1\le -1,$$

   то левая часть всегда не меньше правой. Следовательно, неравенство верно при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$x=0$$; г) $$x\in(-\infty;+\infty).$$