Упр.28.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: а) $$y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{\log_7(2-x)}$$; $$y=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_8(x-3)}$$.

Область определения дроби с корнем и логарифмом находим как пересечение условий:

• подкоренное выражение неотрицательно;
• основание логарифма корректно, а его аргумент положителен;
• знаменатель не равен нулю.

а) $$y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{\log_7(2-x)}$$

1) $$9-x^2\ge 0$$

$$x^2\le 9,\quad -3\le x\le 3$$

2) $$2-x>0,\quad x<2$$

3) $$\log_7(2-x)\ne 0$$

$$2-x\ne 1,\quad x\ne 1$$

Пересекаем все условия:

$$x\in[-3;3]\cap(-\infty;2)\cap\{x\ne 1\}=[-3;1)\cup(1;2).$$

б) $$y=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_8(x-3)}$$

1) $$x^2-4\ge 0$$

$$x^2\ge 4,\quad x\le -2 \text{ или } x\ge 2$$

2) $$x-3>0,\quad x>3$$

3) $$\log_8(x-3)\ne 0$$

$$x-3\ne 1,\quad x\ne 4$$

Пересекаем условия:

$$x>3,\quad x\ne 4,$$

значит

$$x\in(3;4)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$D(y)=[-3;1)\cup(1;2)$$

б) $$D(y)=(3;4)\cup(4;+\infty)$$