Упр.28.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\lg x < \frac{1}{x}-1$$; б) $$\log_{1,6}(x) \geq \frac{1}{x}-1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим функции $$y=\lg x$$ и $$y=\frac{1}{x}-1.$$

Область определения в обоих случаях: $$x>0.$$

а)

Решаем неравенство

$$\lg x<\frac{1}{x}-1.$$

Графики функций $$y=\lg x$$ и $$y=\frac{1}{x}-1$$ пересекаются при $$x=1$$, так как

$$\lg 1=0,\qquad \frac{1}{1}-1=0.$$

При $$0<x<1$$ график функции $$y=\lg x$$ расположен ниже графика $$y=\frac{1}{x}-1$$, а при $$x>1$$ — выше него. Значит, неравенство выполняется при

$$x\in(0;1).$$

б)

Решаем неравенство

$$\log_{1,6}x\ge \frac{1}{x}-1.$$

Графики функций $$y=\log_{1,6}x$$ и $$y=\frac{1}{x}-1$$ пересекаются при $$x=1$$, так как

$$\log_{1,6}1=0,\qquad \frac{1}{1}-1=0.$$

Так как основание $$1,6>1$$, функция $$y=\log_{1,6}x$$ возрастает. На промежутке $$x\ge 1$$ её график не ниже графика $$y=\frac{1}{x}-1$$, а при $$0<x<1$$ — ниже. Следовательно,

$$x\in[1;+\infty).$$