Упр.28.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Являются ли равносильными неравенства:

а) $$\sin x+2\log_3(x)>20$$ и $$\sin x>20-2\log_3(x)$$;

б) $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}\ge 1$$ и $$\sin x\ge 10x+13(x^2-4)$$;

в) $$13-13(x^2-4)\ge 10x$$ и $$13\ge 10x+13(x^2-4)$$;

г) $$10(4x-1)\cdot\lg(x^2-4)<0$$ и $$\lg(x^2-4)<0$$?

1. $$\sin x+2\log_3 x>20$$

   Перенесём слагаемое $$2\log_3 x$$ в правую часть:

   $$\sin x>20-2\log_3 x.$$

   Неравенства равносильны.

2. $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}\ge 1$$

   Так как $$\sqrt{x^2+1}>0$$ при любом $$x\in\mathbb R,$$ можно умножить обе части неравенства на положительное число $$\sqrt{x^2+1}$$:

   $$\sin x\ge \sqrt{x^2+1}.$$

   Неравенства равносильны.

3. $$13-13^{x^2-4}\ge 10^x$$

   Перенесём $$13^{x^2-4}$$ в правую часть:

   $$13\ge 10^x+13^{x^2-4}.$$

   Неравенства равносильны.

4. $$10^{4x-1}\cdot \lg(x^2-4)<0$$

   Так как $$10^{4x-1}>0$$ при любых допустимых значениях $$x,$$ то можно разделить обе части на положительный множитель:

   $$\lg(x^2-4)<0.$$

   Неравенства равносильны.

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.