Упр.28.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\log_2(x)<6-x$$; б) $$\log_3(x)\geq x^3$$; в) $$\log_2(x)\geq 6-x$$; г) $$\log_3(x)
Рассмотрим графики функций и найдём точки их пересечения.
а) $$\log_2 x<6-x$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим уравнение $$\log_2 x=6-x.$$
По графику видно, что графики пересекаются в точке $$x=4.$$
Так как при $$0<x<4$$ график $$y=\log_2 x$$ расположен ниже прямой $$y=6-x$$, то
$$x\in(0;4).$$
б) $$\log_3 x\ge x^3$$
Область определения: $$x>0.$$
Сравним графики функций $$y=\log_3 x$$ и $$y=x^3.$$
При $$x>0$$ кубическая функция растёт быстрее логарифмической, а в точке $$x=1$$ имеем
$$\log_3 1=0,\qquad 1^3=1,$$
то есть $$\log_3 x<x^3$$ уже при $$x=1$$, а при больших $$x$$ неравенство тем более не выполняется. Следовательно, решений нет.
в) $$\log_2 x\ge 6-x$$
Область определения: $$x>0.$$
Уравнение $$\log_2 x=6-x$$ имеет корень $$x=4.$$
При $$x\ge 4$$ график $$y=\log_2 x$$ не ниже прямой $$y=6-x$$, значит
$$x\in[4;+\infty).$$
г) $$\log_3 x<x^3$$
Область определения: $$x>0.$$
На этой области график $$y=x^3$$ расположен выше графика $$y=\log_3 x$$, поэтому неравенство выполняется при всех допустимых значениях $$x$$:
$$x\in(0;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(0;4)$$; б) $$\varnothing$$; в) $$x\in[4;+\infty)$$; г) $$x\in(0;+\infty).$$
