Упр.28.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sin^2(x)-3\sin x+1\le 0$$;

б) $$\cos^2(x)-5\cos x+4\le 0$$.

Положим $$y=\sin x.$$ Тогда неравенство

$$2\sin^2 x-3\sin x+1\le 0$$

примет вид

$$2y^2-3y+1\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2\cdot 2},\qquad y_1=\frac12,\quad y_2=1.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$\left(y-\frac12\right)(y-1)\le 0,$$

откуда

$$\frac12\le y\le 1.$$

Возвращаясь к замене, получаем

$$\frac12\le \sin x\le 1.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь решим второе неравенство. Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

$$\cos^2 x-5\cos x+4\le 0$$

переходит в

$$y^2-5y+4\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2},\qquad y_1=1,\quad y_2=4.$$

Тогда

$$(y-1)(y-4)\le 0,$$

то есть

$$1\le y\le 4.$$

Но $$y=\cos x$$ и всегда $$-1\le \cos x\le 1,$$ значит остаётся только

$$\cos x=1.$$

Отсюда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$