Упр.28.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда получаем квадратное неравенство

$$y^2+3y+2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(y+1)(y+2)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge -1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2(x-1)\le -2 \quad \Rightarrow \quad 0<x-1\le 2^{-2}=\frac14,$$

то есть

$$1<x\le \frac54=1{,}25.$$

Или

$$\log_2(x-1)\ge -1 \quad \Rightarrow \quad x-1\ge 2^{-1}=\frac12,$$

то есть

$$x\ge \frac32=1{,}5.$$

Следовательно,

$$x\in \left(1;\,1{,}25\right]\cup \left[1{,}5;\,+\infty\right).$$

Ответ: $$x\in \left(1;\,1{,}25\right]\cup \left[1{,}5;\,+\infty\right).$$

б) Пусть $$y=3^{\log_{0{,}1}x}.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$y^2-4y+3<0.$$

Разложим на множители:

$$(y-1)(y-3)<0,$$

откуда

$$1<y<3.$$

Возвращаемся к основанию степени:

$$1<3^{\log_{0{,}1}x}<3.$$

Так как функция $$3^t$$ возрастает, получаем

$$0<\log_{0{,}1}x<1.$$

Поскольку основание $$0{,}1<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит

$$0{,}1<x<1.$$

Ответ: $$x\in (0{,}1;\,1).$$