Упр.28.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$y^2-7y+12<0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-7y+12=(y-3)(y-4),$$

поэтому

$$(y-3)(y-4)<0 \Rightarrow 3<y<4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3<\log_2 x<4,$$

$$2^3<x<2^4,$$

$$8<x<16.$$

Ответ: $$x\in(8;16).$$

б) Пусть $$y=\log_{\frac13} x.$$ Тогда получаем

$$3y^2-10y+3\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},$$

откуда

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=3.$$

Так как старший коэффициент положительный, то

$$y\le \frac13 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$. При основании $$\frac13<1$$ логарифмическая функция убывает, поэтому:

$$\log_{\frac13}x\le \frac13 \Rightarrow x\ge \left(\frac13\right)^{\frac13}=\frac1{\sqrt[3]{3}},$$

$$\log_{\frac13}x\ge 3 \Rightarrow x\le \left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x\in\left(0;\frac1{27}\right]\cup\left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac1{27}\right]\cup\left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$