Упр.28.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3x+3(-x+1)\leq 4$$; б) $$25^{-x}-50>5(-x+1)$$.

а) $$3^x+3^{-x+1}\le 4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3^x+\frac{3}{3^x}\le 4.$$

Пусть $$y=3^x,$$ тогда $$y>0$$ и

$$y+\frac{3}{y}\le 4.$$

Умножим на $$y>0$$:

$$y^2-4y+3\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y-1\right)\left(y-3\right)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le y\le 3.$$

Возвращаемся к замене:

$$1\le 3^x\le 3.$$

Так как $$3^0=1$$ и $$3^1=3,$$ получаем

$$0\le x\le 1.$$

б) $$25^{-x}-50>5^{-x+1}.$$

Представим $$25$$ как $$5^2$$:

$$\left(5^2\right)^{-x}-50>5^{-x+1}.$$

Тогда

$$5^{-2x}-50>5^{1-x}.$$

Пусть $$y=5^{-x},$$ тогда $$y>0$$ и

$$y^2-50>5y.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$y^2-5y-50>0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y+5\right)\left(y-10\right)>0.$$

Так как $$y>0,$$ то подходит только

$$y>10.$$

Возвращаемся к замене:

$$5^{-x}>10.$$

Так как основание $$5>1,$$ получаем

$$-x>\log_5 10,$$

откуда

$$x<-\log_5 10=\log_5 0{,}1.$$

Ответ: а) $$x\in[0;1]$$; б) $$x\in(-\infty;\log_5 0{,}1).$$