Упр.28.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2>0$$; б) $$\sqrt[5]{x}-6\sqrt[10]{x}+8<0$$.

а) Пусть $$y=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2,$$ и неравенство принимает вид

$$y^2-y-2>0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y+1\right)\left(y-2\right)>0.$$

Отсюда

$$y<-1 \quad \text{или} \quad y>2.$$

Так как $$y=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ то подходит только

$$\sqrt[6]{x}>2.$$

Возводим обе части в шестую степень:

$$x>64.$$

Ответ: $$x\in(64;+\infty).$$

б) Пусть $$y=\sqrt[10]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[5]{x}=y^2,$$ и получаем

$$y^2-6y+8<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y-2\right)\left(y-4\right)<0.$$

Следовательно,

$$2<y<4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2<\sqrt[10]{x}<4.$$

Возводим все части неравенства в десятую степень:

$$2^{10}<x<4^{10}=2^{20}.$$

Ответ: $$x\in\left(2^{10};2^{20}\right).$$