Упр.28.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\leq 10{,}5$$
2. б) $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\geq 2{,}8$$

а) Пусть $$y=3^x\cdot 2^{-x}=\left(\frac{3}{2}\right)^x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$3\cdot 3^x\cdot 2^{-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5,$$

то есть

$$3y+y\le 10{,}5,$$

$$4y\le 10{,}5,$$

$$y\le \frac{21}{8}.$$

Возвращаемся к замене:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x\le \frac{21}{8}.$$

Так как основание $$\frac{3}{2}>1,$$ получаем

$$x\le 1.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;1].$$

б) Пусть $$y=2^x\cdot 5^{-x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x.$$ Тогда

$$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8,$$

$$5\cdot 2^x\cdot 5^{-x}+2\cdot 2^x\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8,$$

$$5y+2y\ge 2{,}8,$$

$$7y\ge 2{,}8,$$

$$y\ge 0{,}4=\frac{2}{5}.$$

Возвращаемся к замене:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge \frac{2}{5}.$$

Так как основание $$\frac{2}{5}<1,$$ знак неравенства при переходе к показателю меняется:

$$x\le 1.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;1].$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]$$; б) $$x\in(-\infty;1]$$.