Упр.28.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 28.21. Решите неравенство методом введения новой переменной:
   а) $$3^{2x}-2\cdot3^x-3\geqslant0$$;
   б) $$2\cdot5^{2x}-5^x-1\leqslant0$$.

а) Введём новую переменную: $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда получаем неравенство

$$y^2-2y-3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y-3\right)\left(y+1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Так как $$y=3^x>0,$$ то условие $$y\le -1$$ невозможно. Значит,

$$3^x\ge 3,$$

откуда

$$x\ge 1.$$

Ответ: $$x\in[1;+\infty).$$

Решение

б) Введём новую переменную: $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда имеем

$$2y^2-y-1\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac12,\quad y_2=1.$$

Так как коэффициент при $$y^2$$ положителен, то

$$-\frac12\le y\le 1.$$

С учётом условия $$y>0$$ остаётся

$$0<5^x\le 1.$$

Поскольку $$5^x\le 1=5^0,$$ то

$$x\le 0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0].$$