Упр.28.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sqrt{3}\,\operatorname{tg}x\leq\frac{3\sqrt{3}}{3\operatorname{tg}x}$$; б) $$\sqrt{2}\cdot 2\cos x>\frac{1}{2}\cdot 2\cos x$$.

а) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\tg x}\le \frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}=\frac{3^{3/2}}{3^{\tg x}}=3^{\frac32-\tg x}.$$

Тогда

$$3^{\frac12\,\tg x}\le 3^{\frac32-\tg x}.$$

Так как основание $$3>1,$$ сравниваем показатели:

$$\frac12\,\tg x\le \frac32-\tg x.$$

$$\frac32\,\tg x\le \frac32,$$

$$\tg x\le 1.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}>\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}.$$

Преобразуем обе части к основанию $$2$$:

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=2^{\cos x},$$

$$\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}=2^{-1-\cos x}.$$

Получаем неравенство

$$2^{\cos x}>2^{-1-\cos x}.$$

Так как основание $$2>1,$$ сравниваем показатели:

$$\cos x>-1-\cos x,$$

$$2\cos x>-1,$$

$$\cos x>-\frac12.$$

Следовательно,

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z};$$

б) $$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$