Упр.28.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(2(x+1)+1\right)^6\geq\left(2x+17\right)^6$$; б) $$\left(2\cdot0{,}1x+3\right)^{10}\leq\left(0{,}1x+103\right)^{10}$$; в) $$\left(3-3\log_{0{,}2}(x)\right)^{13}<\left(\log_{0{,}2}(x)+7\right)^{13}$$; г) $$\left(3\log_7(x)-24\right)^5>\left(2\log_7(x)-22\right)^5$$.

Так как во всех неравенствах основания степеней больше $$1$$, а логарифмические функции с основанием $$0{,}2$$ убывают, сравним показатели степеней и учтём область определения.

Ход решения

1. $$\left(2^{x+1}+1\right)^6 \ge \left(2^x+17\right)^6$$
   
   Так как функция $$y=t^6$$ возрастает при $$t \ge 0$$, получаем:
   $$2^{x+1}+1 \ge 2^x+17$$
   $$2\cdot 2^x+1 \ge 2^x+17$$
   $$2^x \ge 16=2^4$$
   $$x \ge 4.$$
2. $$\left(2\cdot 0{,}1^x+3\right)^{10} \le \left(0{,}1^x+103\right)^{10}$$
   
   Тогда:
   $$2\cdot 0{,}1^x+3 \le 0{,}1^x+103$$
   $$0{,}1^x \le 100$$
   $$10^{-x} \le 10^2$$
   $$-x \le 2$$
   $$x \ge -2.$$
3. $$\left(3-3\log_{0{,}2}x\right)^{13} < \left(\log_{0{,}2}x+7\right)^{13}$$
   Так как функция $$y=t^{13}$$ возрастает, а область определения: $$x>0,$$
   то
   $$3-3\log_{0{,}2}x < \log_{0{,}2}x+7$$ $$-4\log_{0{,}2}x < 4$$ $$\log_{0{,}2}x > -1.$$
   Поскольку основание $$0{,}2<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется: $$x < 0{,}2^{-1}=5.$$ С учётом ОДЗ: $$0
4. $$\left(3\log_7 x-24\right)^5 > \left(2\log_7 x-22\right)^5$$
   
   Так как функция $$y=t^5$$ возрастает, а область определения: $$x>0,$$
   получаем:
   $$3\log_7 x-24 > 2\log_7 x-22$$
   $$\log_7 x > 2$$
   $$x>7^2=49.$$

Ответ

а) $$x \in [4;+\infty)$$;
б) $$x \in [-2;+\infty)$$;
в) $$x \in (0;5)$$;
г) $$x \in (49;+\infty)$$.