Упр.28.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\left(x^2-6x\right)^5\geq(2x-7)^5$$; б) $$\left(x^2-2x\right)^9\leq\left(2x-x^2-2\right)^9$$; в) $$\left(x^2-10\right)^{11}<\left(5-2x\right)^{11}$$; г) $$\left(6x^2-4x-2\right)^7>\left(x^2+3x+10\right)^7$$.

а) Так как показатель степени нечётный, то сравниваем основания:

$$x^2-6x \ge 2x-7$$

$$x^2-8x+7 \ge 0$$

$$D=64-28=36,\quad x_1=1,\quad x_2=7$$

$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)$$

Тогда

$$(x-1)(x-7)\ge 0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty).$$

б) Аналогично:

$$x^2-2x \le 2x-x^2-2$$

$$2x^2-4x+2 \le 0$$

$$x^2-2x+1 \le 0$$

$$(x-1)^2\le 0$$

Квадрат неотрицателен, значит неравенство выполняется только при

$$x=1.$$

в)

$$x^2-10<5-2x$$

$$x^2+2x-15<0$$

$$D=4+60=64,\quad x_1=-5,\quad x_2=3$$

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$$

Тогда

$$(x+5)(x-3)<0$$

Отсюда

$$x\in(-5;3).$$

г)

$$6x^2-4x-2>x^2+3x+10$$

$$5x^2-7x-12>0$$

$$D=49+240=289,\quad x_1=-1,\quad x_2=\frac{12}{5}=2{,}4$$

$$5x^2-7x-12=(5x+6)(x-2{,}4)$$

Тогда

$$(5x+6)(x-2{,}4)>0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-1)\cup(2{,}4;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty)$$; б) $$x=1$$; в) $$x\in(-5;3)$$; г) $$x\in(-\infty;-1)\cup(2{,}4;+\infty)$$.