Упр.28.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

28.16. Решите неравенство:
а) $$\log_{9}(x^2-10x+40)\le\log_{9}(4x-8);$$
б) $$\log_{0,7}(9x-4x^2)\ge\log_{0,7}(x^3+4x^2);$$
в) $$\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{x-2}{2x-4}\right)<\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{x+1}{x+2}\right);$$
г) $$\log_{\frac{1}{3}}(5x-4)<\log_{\frac{1}{3}}x^2.$$

Подробный ответ

а) Так как основание логарифма $$9>1,$$ то функция $$\log_9 x$$ возрастает, значит достаточно сравнить аргументы:

$$x^2-10x+40 \le 4x-8$$
$$x^2-14x+48 \le 0$$
$$(x-6)(x-8)\le 0$$
$$x\in[6;8].$$

Проверим область определения:

$$x^2-10x+40>0$$
для всех $$x\in\mathbb R,$$ так как
$$D=10^2-4\cdot 40=100-160=-60<0.$$
Значит, ограничений нет.

б) Так как $$0<0{,}7<1,$$ то функция $$\log_{0{,}7}x$$ убывает, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$9x-4x^2 \le x^3+4x^2$$
$$x^3+8x^2-9x \ge 0$$
$$x(x^2+8x-9)\ge 0$$
$$x(x+9)(x-1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[-9;0]\cup[1;+\infty).$$

Теперь учтём область определения:

$$9x-4x^2>0$$
$$x(9-4x)>0$$
$$x\in\left(0;\frac94\right).$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left[1;\frac94\right).$$

в) Основание $$\sqrt2>1,$$ значит сравниваем аргументы:

$$\frac{x-2}{2x-4}<\frac{x+1}{x+2}.$$
Так как $$2x-4=2(x-2),$$ то при $$x\ne 2$$
$$\frac{x-2}{2x-4}=\frac12.$$
Тогда
$$\frac12<\frac{x+1}{x+2}$$
$$\frac{x+2-2x-2}{2(x+2)}<0$$
$$\frac{-x}{2(x+2)}<0$$
$$\frac{x}{x+2}>0.$$

Решаем неравенство:

$$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$$

С учётом области определения $$x\ne -2,\; x\ne 2,$$ получаем

$$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$

г) Так как $$0<\frac13<1,$$ то логарифмическая функция убывает, поэтому

$$5x-4>x^2$$
$$x^2-5x+4<0$$
$$(x-1)(x-4)<0.$$

Отсюда

$$1<x<4.$$

Проверим область определения:

$$5x-4>0,\quad x^2>0.$$
Это условие выполняется при $$x>\frac45$$ и $$x\ne 0,$$ поэтому найденный промежуток подходит.