Упр.28.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\dfrac{2x-3}{x+3}>0,\\[4pt]\dfrac{5x+1}{4x-2}<0;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\dfrac{2}{x+3}<\dfrac{5}{x},\\[4pt]\dfrac{3}{x-2}<\dfrac{2}{x};\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}(x+3)(x-1)>0,\\[4pt]2-x^2\leq 0;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}x^2<25,\\[4pt]\dfrac{x-1}{x+3}<0.\end{cases}$$

а) Рассмотрим каждое неравенство отдельно:

$$\frac{2x-3}{x+3}>0 \;\Rightarrow\; x<-3 \;\text{или}\; x>\frac{3}{2}$$
$$\frac{5x+1}{4x-2}<0 \;\Rightarrow\; -\frac15<x<\frac12$$

Объединяем решения:

$$x\in(-\infty;-3)\cup\left(-\frac15;\frac12\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$

б) Решаем по отдельности:

$$\frac{2}{x+3}<\frac{5}{x} \;\Rightarrow\; \frac{3x+15}{x(x+3)}>0 \;\Rightarrow\; x\in(-5;-3)\cup(0;+\infty)$$
$$\frac{3}{x-2}<\frac{2}{x} \;\Rightarrow\; \frac{x+4}{x(x-2)}<0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-4)\cup(0;2)$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-3)\cup(0;+\infty).$$

в) Имеем систему:

$$\begin{cases} (x+3)(x-1)>0,\\ 2-x^2\le 0. \end{cases}$$

Первое неравенство даёт:

$$x<-3 \;\text{или}\; x>1.$$

Второе неравенство:

$$2-x^2\le 0 \;\Rightarrow\; x^2\ge 2 \;\Rightarrow\; x\le -\sqrt2 \;\text{или}\; x\ge \sqrt2.$$

Пересечение решений:

$$x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup(1;+\infty).$$

г) Решаем систему:

$$\begin{cases} x^2<25,\\ \frac{x-1}{x+3}<0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$-5<x<5.$$

Из второго:

$$-3<x<1.$$

Пересечение:

$$x\in(-3;1).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-3)\cup\left(-\frac15;\frac12\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)$$

б) $$x\in(-\infty;-3)\cup(0;+\infty)$$

в) $$x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup(1;+\infty)$$

г) $$x\in(-3;1)$$