Упр.28.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите совокупность неравенств:

   а) $$\left\{\begin{array}{l}x^2-4>0,\\x-6<0.\end{array}\right.$$

   б) $$\left\{\begin{array}{l}(x+3)^3\geqslant27,\\4x-1<12x.\end{array}\right.$$

   в) $$\left\{\begin{array}{l}x(x+1)\leqslant0,\\3x-9>0.\end{array}\right.$$

   г) $$\left\{\begin{array}{l}(x+3)(x^2-3x+9)<54,\\x^2-9>0.\end{array}\right.$$

Решим каждую систему неравенств отдельно и возьмём объединение решений.

1. $$\begin{cases} x^2-4>0,\\ x-6<0 \end{cases}$$

   $$x^2-4>0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+2)>0 \;\Rightarrow\; x<-2 \text{ или } x>2.$$

   $$x-6<0 \;\Rightarrow\; x<6.$$

   Пересечение решений:

   $$(-\infty;-2)\cup(2;6).$$

2. $$\begin{cases} (x+3)^3\ge 27,\\ 4x-1<12x \end{cases}$$

   $$(x+3)^3\ge 27 \;\Rightarrow\; x+3\ge 3 \;\Rightarrow\; x\ge 0.$$

   $$4x-1<12x \;\Rightarrow\; -1<8x \;\Rightarrow\; x>-\frac18.$$

   Пересечение решений:

   $$\left(-\frac18;+\infty\right).$$

3. $$\begin{cases} x(x+1)\le 0,\\ 3x-9>0 \end{cases}$$

   $$x(x+1)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[-1;0].$$

   $$3x-9>0 \;\Rightarrow\; x>3.$$

   Общих решений нет, так как отрезок $$[-1;0]$$ не пересекается с промежутком $$(3;+\infty).$$

   $$\varnothing$$

4. $$\begin{cases} (x+3)(x^2-3x+9)<54,\\ x^2-9>0 \end{cases}$$

   Так как

   $$(x+3)(x^2-3x+9)=x^3+27,$$

   то первое неравенство равносильно:

   $$x^3+27<54 \;\Rightarrow\; x^3<27 \;\Rightarrow\; x<3.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2-9>0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+3)>0 \;\Rightarrow\; x<-3 \text{ или } x>3.$$

   Пересечение с условием $$x<3$$ даёт:

   $$(-\infty;-3).$$

Ответ: а) $$(-\infty;-2)\cup(2;6)$$; б) $$\left(-\frac18;+\infty\right)$$; в) $$\varnothing$$; г) $$(-\infty;-3)$$.