Упр.28.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{x}{x+2}-\frac{24}{(x+2)^2}<0$$, $$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0$$;

б) $$-3x<9$$, $$x^2<25$$.

а)

Решим первое неравенство системы:

$$\frac{x}{x+2}-\frac{24}{(x+2)^2}<0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$

$$\frac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$

Так как $$\,(x+2)^2>0\,$$ при $$x\neq -2,$$ то достаточно решить числитель:

$$x^2+2x-24<0$$

$$\left(x+6\right)\left(x-4\right)<0$$

Отсюда:

$$-6<x<4$$

Второе неравенство:

$$-3x<9$$

$$x>-3$$

Учитываем область допустимых значений:

$$x\neq -2$$

Пересекаем все условия:

$$(-6;4)\cap(-3;+\infty)\setminus\{-2\}=(-3;-2)\cup(-2;4)$$

б)

Решим первое неравенство системы:

$$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0$$

Так как $$\,(x-4)^2>0\,$$ при $$x\neq 4,$$ то решаем числитель:

$$x^2-1{,}5x-7>0$$

Умножим на $$2$$:

$$2x^2-3x-14>0$$

$$\left(2x+4\right)\left(x-\frac{7}{2}\right)>0$$

$$\left(x+2\right)\left(x-3{,}5\right)>0$$

Отсюда:

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3{,}5$$

Второе неравенство:

$$x^2<25$$

$$-5<x<5$$

Учитываем область допустимых значений:

$$x\neq 4$$

Пересекаем все условия:

$$\left((- \infty;-2)\cup(3{,}5;+\infty)\right)\cap(-5;5)\setminus\{4\}=(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5)$$

Ответ

а) $$x\in(-3;-2)\cup(-2;4)$$

б) $$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5)$$