Упр.28.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\begin{cases} x^3 < x, \\ \dfrac{x+5}{x-7} < 1 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x^2-x > 5-15x, \\ \dfrac{3x+4}{4x-2} > -1 \end{cases}$$

Рассмотрим каждую систему по отдельности.

а)

$$\begin{cases} x^3<x,\\ 3x^2-x>5-15x. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x^3<x \\ x^3-x<0 \\ x(x^2-1)<0 \\ x(x-1)(x+1)<0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

Второе неравенство:

$$3x^2-x>5-15x \\ 3x^2+14x-5>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256,$$

$$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}.$$

Тогда

$$x_1=-5,\qquad x_2=\frac13.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$3x^2+14x-5>0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$

Пересекаем решения двух неравенств:

$$\left((-\infty;-1)\cup(0;1)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right) = (-\infty;-5)\cup\left(\frac13;1\right).$$

б)

$$\begin{cases} \dfrac{x+5}{x-7}<1,\\[4pt] \dfrac{3x+4}{4x-2}>-1. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\dfrac{x+5}{x-7}-1<0 \\ \dfrac{x+5-(x-7)}{x-7}<0 \\ \dfrac{12}{x-7}<0.$$

Так как числитель положителен, то

$$x-7<0,\qquad x<7.$$

Второе неравенство:

$$\dfrac{3x+4}{4x-2}>-1 \\ \dfrac{3x+4+4x-2}{4x-2}>0 \\ \dfrac{7x+2}{4x-2}>0 \\ \dfrac{7x+2}{2(2x-1)}>0.$$

Критические точки: $$x=-\frac27$$ и $$x=\frac12$$. Тогда

$$\dfrac{7x+2}{2(2x-1)}>0 \quad \text{при} \quad x\in\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$

Пересекаем с условием $$x<7$$:

$$\left(-\infty;7\right)\cap\left[\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\right] = \left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;1\right).$$

б) $$x\in\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right).$$