Упр.28.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Придумайте три неравенства, равносильных неравенству:

а) $$x^2-9\leq 0$$;

б) $$\frac{1}{x}<\frac{1}{3}$$.

а) $$x^2-9\le 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-9=(x-3)(x+3)\le 0.$$

Тогда $$-3\le x\le 3.$$

Подойдут, например, такие равносильные неравенства:

• $$|x|\le 3;$$
• $$x^2\le 9;$$
• $$x^4\le 81.$$

б) $$\frac{1}{x}<\frac{1}{3}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{3}<0,$$

$$\frac{3-x}{3x}<0,\qquad x\ne 0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

$$\frac{x-3}{x}>0.$$

Отсюда получаем $$x<0$$ или $$x>3.$$

Равносильные неравенства, например:

• $$x(x-3)>0;$$
• $$x^2-3x>0;$$
• $$\frac{x-3}{x}>0.$$

Ответ: а) $$|x|\le 3,$$ $$x^2\le 9,$$ $$x^4\le 81$$; б) $$x(x-3)>0,$$ $$x^2-3x>0,$$ $$\frac{x-3}{x}>0.$$