Упр.27.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2^{\log_8 x-\log_8 x^2+2,5}=(2\sqrt2+1)^2-9.$$

Преобразуем правую часть:

$$(2\sqrt2+1)^2-9=8+4\sqrt2+1-9=4\sqrt2.$$

Тогда

$$2^{\log_8 x-\log_8 x^2+2,5}=4\sqrt2=2^{2+\frac12}=2^{\frac52}.$$

Следовательно,

$$\log_8 x-\log_8 x^2+2,5=\frac52.$$

Так как $$\log_8 x^2=2\log_8 x,$$ получаем

$$\log_8 x-2\log_8 x+2,5=\frac52,$$

$$-\log_8 x=0,$$

$$\log_8 x=0,$$

$$x=1.$$

Проверка области определения: $$x>0,$$ значит $$x=1$$ подходит.

б) $$3^{\cos x}\cdot 3\sqrt3=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}.$$

Упростим правую часть:

$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt9=3.$$

Тогда

$$3^{\cos x}\cdot 3\sqrt3=3.$$

Представим $$3\sqrt3$$ как степень тройки:

$$3\sqrt3=3^{1+\frac12}=3^{\frac32}.$$

Получаем

$$3^{\cos x+\frac32}=3^1,$$

откуда

$$\cos x+\frac32=1,$$

$$\cos x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$