Упр.27.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$; б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)$$; в) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$$; г) $$\operatorname{ctg}2x=\operatorname{ctg}3x$$.

а) $$\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0$$

$$2\sin\left(\frac{3x+\frac{\pi}{3}-x+\frac{\pi}{6}}{2}\right)\cos\left(\frac{3x+\frac{\pi}{3}+x-\frac{\pi}{6}}{2}\right)=0$$

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)=0$$

1) $$x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

2) $$2x+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$2x=\frac{5\pi}{12}+\pi n$$

$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$\tg\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\tg\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)$$

Тогда

$$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{8}-x\right)}= \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)}$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=0$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}-x-\frac{\pi}{6}-2x\right)=0$$

$$\sin\left(-3x-\frac{\pi}{24}\right)=0$$

$$-3x-\frac{\pi}{24}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$

в) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Перенесём в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$-2\sin\left(\frac{x-\frac{\pi}{4}+2x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\frac{\pi}{4}-(2x+\frac{\pi}{4})}{2}\right)=0$$

$$2\sin\frac{3x}{2}\cdot \sin\left(-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

1) $$\sin\frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}$$

2) $$\sin\left(-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow -\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{2\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

г) $$\ctg 2x=\ctg 3x$$

Запишем через синус и косинус:

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\cos 3x}{\sin 3x}$$

$$\cos 2x\cdot \sin 3x-\cos 3x\cdot \sin 2x=0$$

$$\sin(3x-2x)=0$$

$$\sin x=0$$

Но при $$x=\pi n$$ имеем $$\sin 2x=0$$ и $$\sin 3x=0$$, поэтому выражения $$\ctg 2x$$ и $$\ctg 3x$$ не определены. Следовательно, решений нет.

Ответ: корней нет.