Упр.27.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Преобразуем правую часть:

$$7^x+\frac{1}{49}\cdot 7^{2-x}=7^x+7^{-x}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\cos^2\frac{x^3+x^2-2x}{6}=7^x+7^{-x}.$$

Обозначим

$$f(x)=7^x+7^{-x}, \qquad g(x)=2\cos^2\frac{x^3+x^2-2x}{6}.$$

Найдём наименьшее значение функции $$f(x)$$. Так как

$$f'(x)=7^x\ln 7-7^{-x}\ln 7,$$

то

$$f'(x)=0 \iff 7^x=7^{-x} \iff 7^{2x}=1 \iff x=0.$$

При этом

$$f(0)=7^0+7^{-0}=1+1=2.$$

Значит, $$f(x)\ge 2$$.

Теперь найдём наибольшее значение функции $$g(x)$$. Так как

$$0\le \cos^2 t\le 1,$$

то

$$0\le 2\cos^2 t\le 2,$$

следовательно, $$g(x)\le 2$$.

Чтобы равенство было возможно, нужно одновременно иметь

$$f(x)=2 \quad \text{и} \quad g(x)=2.$$

Из $$f(x)=2$$ получаем $$x=0$$. Проверим:

$$g(0)=2\cos^2\frac{0^3+0^2-2\cdot 0}{6}=2\cos^2 0=2.$$

Следовательно, $$x=0$$ — решение уравнения.

Ответ

$$0$$