Упр.27.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(x^2-6x\right)^5=\left(2x-7\right)^5$$

Так как степени одинаковые и показатель нечётный, получаем:

$$x^2-6x=2x-7$$

$$x^2-8x+7=0$$

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=7$$

Ответ: $$1;\ 7$$

б) $$\left(\sqrt{6x-1}+1\right)^9=\left(\sqrt{6x+8}\right)^9$$

Тогда:

$$\sqrt{6x-1}+1=\sqrt{6x+8}$$

$$6x-1+2\sqrt{6x-1}+1=6x+8$$

$$2\sqrt{6x-1}=8$$

$$\sqrt{6x-1}=4$$

$$6x-1=16$$

$$6x=17$$

$$x=\frac{17}{6}=2\frac{5}{6}$$

Проверим область допустимых значений:

$$6x-1\ge 0,\quad 6x+8\ge 0$$

$$x\ge \frac16,\quad x\ge -\frac43$$

Следовательно, найденное значение подходит.

Ответ: $$2\frac{5}{6}$$

в) $$\left(2^{2x}+16\right)^{20}=\left(10\cdot 2^x\right)^{20}$$

Так как показатели одинаковые, получаем:

$$2^{2x}+16=10\cdot 2^x$$

Пусть $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и

$$y^2-10y+16=0$$

$$D=10^2-4\cdot 16=100-64=36$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$$

$$y_1=2,\quad y_2=8$$

Тогда:

$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

$$2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3$$

Ответ: $$1;\ 3$$

г) $$\left(\log_{0,1}^2 x-2\right)^3=\left(2\log_{0,1}x+1\right)^3$$

Тогда:

$$\log_{0,1}^2 x-2=2\log_{0,1}x+1$$

$$\log_{0,1}^2 x-2\log_{0,1}x-3=0$$

Пусть $$y=\log_{0,1}x$$, тогда

$$y^2-2y-3=0$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$y_1=-1,\quad y_2=3$$

Тогда:

$$\log_{0,1}x=-1 \Rightarrow x=0{,}1^{-1}=10$$

$$\log_{0,1}x=3 \Rightarrow x=0{,}1^3=0{,}001$$

Область определения: $$x>0$$, оба значения подходят.

Ответ: $$0{,}001;\ 10$$