Упр.27.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим функции
$$f(x)=0{,}5x^2-6x+34,$$
$$g(x)=2^{3+\cos \pi x}.$$
Функция $$f(x)$$ — парабола, ветви направлены вверх, значит наименьшее значение она принимает в вершине:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 0{,}5}=6,$$
$$f(6)=0{,}5\cdot 6^2-6\cdot 6+34=16.$$
Для функции $$g(x)$$ имеем:
$$-1\le \cos \pi x\le 1,$$
$$2\le 3+\cos \pi x\le 4,$$
$$4\le 2^{3+\cos \pi x}\le 16.$$
Значит, $$g(x)\le 16$$, и равенство достигается при $$\cos \pi x=1$$, то есть при $$x=2n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
Чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы обе части были равны $$16$$. Тогда
$$0{,}5x^2-6x+34=16,$$
$$0{,}5x^2-6x+18=0,$$
$$x^2-12x+36=0,$$
$$x=6.$$
Это значение подходит и для второй части, так как $$\cos 6\pi=1$$.
б) Рассмотрим функции
$$f(x)=20x-100x^2,$$
$$g(x)=5^{\sqrt{1-\tg 2{,}5\pi x}}.$$
Для существования правой части нужно:
$$1-\tg 2{,}5\pi x\ge 0.$$
Левая часть — парабола, ветви вниз, её наибольшее значение в вершине:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\cdot(-100)}=0{,}1,$$
$$f(0{,}1)=20\cdot 0{,}1-100\cdot 0{,}1^2=1.$$
При $$x=0{,}1$$:
$$\tg 2{,}5\pi\cdot 0{,}1=\tg \frac{\pi}{4}=1,$$
$$g(0{,}1)=5^{\sqrt{1-1}}=5^0=1.$$
Следовательно, уравнение имеет решение при $$x=0{,}1.$$
в) Пусть
$$|2x^2-11x+5|+\tg^2 \pi x=0.$$
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$|2x^2-11x+5|=0,$$
$$\tg^2 \pi x=0.$$
Из первого уравнения:
$$2x^2-11x+5=0,$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 5=121-40=81,$$
$$x_1=\frac{11-9}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{11+9}{4}=5.$$
Из второго уравнения:
$$\tg \pi x=0,$$
$$\pi x=\pi n,\quad x=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Из найденных корней подходит только $$x=5.$$
г) Рассмотрим уравнение
$$7-|2x^2-7x+3|=\frac{7}{\cos^2 \pi x}.$$
Так как
$$\cos^2 \pi x\le 1,$$
то
$$\frac{7}{\cos^2 \pi x}\ge 7.$$
С другой стороны,
$$7-|2x^2-7x+3|\le 7.$$
Значит, равенство возможно только при
$$|2x^2-7x+3|=0$$
и
$$\cos^2 \pi x=1.$$
Из первого:
$$2x^2-7x+3=0,$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25,$$
$$x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{7+5}{4}=3.$$
Из второго:
$$\cos \pi x=\pm 1,$$
то есть $$x\in \mathbb{Z}.$$
Из найденных корней подходит только $$x=3.$$
Ответ
а) $$6$$; б) $$0{,}1$$; в) $$5$$; г) $$3$$.
