Упр.27.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) Рассмотрим сумму двух неотрицательных выражений. Она равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$\ln^2(x^2-3x-9)=0,$$

$$\sqrt{x^3-8x-8}=0.$$

Из первого уравнения получаем:

$$\ln(x^2-3x-9)=0,$$

$$x^2-3x-9=1,$$

$$x^2-3x-10=0,$$

$$D=9+40=49,$$

$$x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{3+7}{2}=5.$$

Из второго уравнения:

$$x^3-8x-8=0,$$

$$x^2-8x-8=0,$$

$$D=64+32=96,$$

$$x=\frac{8\pm\sqrt{96}}{2}=4\pm 2\sqrt{6}.$$

Но нужно учитывать, что при $$\ln(x^2-3x-9)=0$$ аргумент логарифма должен быть положительным. Проверка показывает, что из найденных значений подходит только $$x=-2$$.

Ответ: $$-2$$.

б) Аналогично, сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$\arctg^4(x^3+2x^2-x-2)=0,$$

$$\sqrt[6]{x^4+x^3+2x^2-x-3}=0.$$

Следовательно, решаем систему:

$$\begin{cases} x^3+2x^2-x-2=0,\\ x^4+x^3+2x^2-x-3=0. \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$x^3+2x^2-x-2=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)=0,$$

откуда

$$x=-2,\,-1,\,1.$$

Второе уравнение:

$$x^4+x^3+2x^2-x-3=(x-1)(x^3+2x^2+4x+3)=0.$$