Упр.27.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_2(x^2-4x+8)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Обозначим

$$y=\log_2(x^2-4x+8), \qquad g=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Найдём наименьшее значение функции $$y(x)$$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$

$$y(2)=\log_2(2^2-4\cdot 2+8)=\log_2 4=2.$$

Значит, $$y(x)\ge 2.$$

Теперь найдём наибольшее значение правой части:

$$\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}\le 2.$$

При $$x=2$$ получаем

$$g(2)=\sin\frac{5\pi\cdot 2}{4}-\cos\frac{\pi\cdot 2}{2}=\sin\frac{5\pi}{2}-\cos\pi=1-(-1)=2.$$

Следовательно, равенство возможно только при $$x=2$$.

Ответ: $$x=2$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_3(x^2+4x+13)=\cos \pi x-\sin\frac{\pi x}{4}.$$

Обозначим

$$y=\log_3(x^2+4x+13), \qquad g=\cos \pi x-\sin\frac{\pi x}{4}.$$

Найдём наименьшее значение функции $$y(x)$$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$

$$y(-2)=\log_3\bigl((-2)^2+4\cdot(-2)+13\bigr)=\log_3 9=2.$$

Значит, $$y(x)\ge 2.$$

Теперь найдём наибольшее значение правой части:

$$\cos \pi x-\sin\frac{\pi x}{4}\le 2.$$

При $$x=-2$$ получаем

$$g(-2)=\cos(-2\pi)-\sin\left(-\frac{2\pi}{4}\right)=\cos 2\pi+\sin\frac{\pi}{2}=1+1=2.$$

Следовательно, равенство возможно только при $$x=-2$$.

Ответ: $$x=-2$$.