Упр.27.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{x^2-2x+2}+\log_3\left(\sqrt{x^2-2x+10}\right)=2$$
б) $$(x-7)^6+\log_5\left(\sqrt{x^2-14x+74}\right)=1$$

а) Перепишем уравнение в виде

$$\sqrt{(x-1)^2+1}+\log_3\sqrt{(x-1)^2+9}=2.$$

Обозначим

$$y=\sqrt{(x-1)^2+9}, \quad y>0.$$

Тогда

$$\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{y^2-8},$$

и уравнение принимает вид

$$\sqrt{y^2-8}+\log_3 y=2.$$

Так как при $$y>0$$ левая часть возрастает, а правая часть убывает, решение может быть только одно. Проверим $$y=3$$:

$$\sqrt{3^2-8}+\log_3 3=\sqrt{1}+1=2.$$

Значит, $$y=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt{(x-1)^2+9}=3,$$

$$(x-1)^2+9=9,$$

$$(x-1)^2=0,$$

$$x=1.$$

Ответ: $$1$$.

б) Перепишем уравнение в виде

$$(x-7)^6+\log_5\sqrt{(x-7)^2+25}=1.$$

Обозначим

$$y=\sqrt{(x-7)^2+25}, \quad y>0.$$

Тогда

$$(x-7)^6=(y^2-25)^3,$$

и получаем

$$(y^2-25)^3+\log_5 y=1.$$

При $$y>0$$ левая часть возрастает, а правая часть убывает, значит, решение единственно. Проверим $$y=5$$:

$$(5^2-25)^3+\log_5 5=0+1=1.$$

Следовательно, $$y=5.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$\sqrt{(x-7)^2+25}=5,$$

$$(x-7)^2+25=25,$$

$$(x-7)^2=0,$$

$$x=7.$$

Ответ: $$7$$.