Упр.27.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin\frac{5\pi}{4}x=x^2-4x+5$$; б) $$-\cos 7\pi x=x^2-6x+10$$.

а) Рассмотрим уравнение как равенство двух функций:

$$y=\sin \frac{5\pi}{4}x,$$

$$g(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Так как $$-1\le \sin \frac{5\pi}{4}x \le 1,$$ то левая часть не превосходит $$1.$$

Правая часть удовлетворяет неравенству

$$g(x)=(x-2)^2+1\ge 1.$$

Равенство возможно только при $$g(x)=1,$$ то есть при

$$x=2.$$

Проверка:

$$\sin \frac{5\pi}{4}\cdot 2=\sin \frac{5\pi}{2}=\sin \frac{\pi}{2}=1,$$

$$2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Значит, $$x=2.$$

б) Перепишем уравнение:

$$-\cos 7\pi x=x^2-6x+10=(x-3)^2+1.$$

Так как

$$-1\le -\cos 7\pi x \le 1,$$

а

$$(x-3)^2+1\ge 1,$$

то равенство возможно только при

$$(x-3)^2+1=1,$$

откуда

$$x=3.$$

Проверка:

$$-\cos 7\pi\cdot 3=-\cos 21\pi=-\cos \pi=1,$$

$$3^2-6\cdot 3+10=1.$$

Следовательно, $$x=3.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$3$$.