Упр.27.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$2-x-\sqrt[5]{x}=0$$; б) $$\log_{5}(x)-1+(x-5)^3=0$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$2-x-\sqrt[5]{x}=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; 2-x=\sqrt[5]{x}.$$

Рассмотрим функции $$f(x)=2-x$$ и $$g(x)=\sqrt[5]{x}.$$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим $$x=1$$:

$$2-1-\sqrt[5]{1}=1-1=0.$$

Следовательно, $$x=1$$.

б) Преобразуем уравнение:

$$\log_5 x-1+(x-5)^3=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \log_5 x-1=-(x-5)^3.$$

Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x-1$$ и $$g(x)=-(x-5)^3.$$

На области определения $$x>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, уравнение имеет не более одного корня.

Проверим $$x=5$$:

$$\log_5 5-1+(5-5)^3=1-1+0=0.$$

Следовательно, $$x=5$$.

Ответ: а) $$1$$; б) $$5$$.