Упр.27.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$1+x^2=\frac{1}{2}|x|$$; б) $$3-x^2=2|x|$$.

Рассмотрим уравнения по отдельности.

а)

$$1+x^2=\left(\frac12\right)^{|x|}$$

Левая часть при любом $$x$$ не меньше $$1$$, так как $$x^2\ge 0$$. Правая часть при любом $$x$$ не больше $$1$$, потому что $$0<\frac12<1$$.

Равенство возможно только тогда, когда обе части равны $$1$$:

$$1+x^2=1 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

б)

$$3-x^2=2^{|x|}$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и уравнение принимает вид

   $$3-x^2=2^x.$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$3-1^2=2,\qquad 2^1=2.$$

   Значит, $$x=1$$ — решение.

2. Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и уравнение принимает вид

   $$3-x^2=2^{-x}.$$

   Проверим значение $$x=-1$$:

   $$3-(-1)^2=2,\qquad 2^{-(-1)}=2.$$

   Значит, $$x=-1$$ — решение.

Других решений нет.

Ответ: а) $$0$$; б) $$-1,\ 1$$.