Упр.27.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2(5x-1)\left(\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0$$; б) $$(\sin 2x+\cos 2x)\left(x-8\sqrt{2x}-15\right)=0$$.

а) Рассмотрим произведение

$$2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$2^{5x-1}=0.$$

Такого быть не может, так как $$2^{5x-1}>0$$ при любых $$x$$.

2) $$\sin x-\frac{\sqrt3}{2}=0,$$ откуда

$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\log_{0,5}(x+4)=0,$$ значит

$$x+4=1,$$

$$x=-3.$$

Проверим область определения логарифма:

$$x+4>0,\quad x>-4.$$

Все найденные значения подходят.

б) Рассмотрим произведение

$$\left(\sin 2x+\cos 2x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0.$$

Тогда:

1) $$\sin 2x+\cos 2x=0.$$

Разделим на $$\cos 2x$$:

$$\tan 2x=-1.$$

Отсюда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x-8\sqrt{2x-15}=0.$$

Тогда

$$x=8\sqrt{2x-15}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=64(2x-15),$$

$$x^2-128x+960=0.$$

Найдём корни:

$$D=128^2-4\cdot 960=12544,$$

$$x_{1,2}=\frac{128\pm 112}{2}.$$

Получаем

$$x_1=8,\quad x_2=120.$$

Проверим область определения:

$$2x-15\ge 0,\quad x\ge \frac{15}{2}.$$

Оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=-3,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=8,\; x=120,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$