Упр.27.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{x}\sin x\log_2(x)=0$$; б) $$\sqrt{3x+1}\cos 2x\lg x=0$$.

а) Рассмотрим произведение:

$$\sqrt{x}\cdot \sin x \cdot \log_2 x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{x}=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0 \quad \text{или} \quad \log_2 x=0.$$

1) $$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0,$$ но при этом $$\log_2 x$$ не определён, значит, этот корень не подходит.

2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$n\in \mathbb{N}.$$

3) $$\log_2 x=0 \Rightarrow x=1.$$

Итак, решения:

$$x=1,\quad x=\pi n,\; n\in \mathbb{N}.$$

б) Рассмотрим уравнение:

$$\sqrt{3x+1}\cdot \cos 2x \cdot \lg x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{3x+1}=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \lg x=0.$$

Область определения:

$$3x+1\ge 0,\quad x>0.$$

Отсюда $$x>0.$$

1) $$\sqrt{3x+1}=0 \Rightarrow 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13,$$ но это не входит в область определения.

2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

С учётом $$x>0$$ получаем $$n=0,1,2,\ldots$$

3) $$\lg x=0 \Rightarrow x=1.$$

Следовательно, решения:

$$x=1,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n=0,1,2,\ldots$$

Ответ

а) $$x=1,\ \pi n,\ n\in \mathbb{N}.$$

б) $$x=1,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n=0,1,2,\ldots$$