Упр.27.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\log_{3}(x^2-10x+40)=\log_{3}(4x-8);$$ б) $$\log_{0{,}8}(9x-4x^2)=\log_{0{,}8}(x^3+4x^2);$$ в) $$\log_{\sqrt{3}}\frac{x-2}{2x-4}=\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x+2};$$ г) $$\log_{0{,}1}\sqrt{5x-6}=\log_{0{,}1}\sqrt{x^2-2}.$$

Подробный ответ

а) Так как основания логарифмов одинаковые и больше нуля, то приравниваем подлогарифмические выражения:

$$x^2-10x+40=4x-8$$

$$x^2-14x+48=0$$

$$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4$$

$$x_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2}$$

$$x_1=6,\quad x_2=8$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$6;\ 8$$

б) Приравниваем подлогарифмические выражения:

$$9x-4x^2=x^3+4x^2$$

$$x^3+8x^2-9x=0$$

$$x(x^2+8x-9)=0$$

$$x(x+9)(x-1)=0$$

Отсюда $$x=0,\ -9,\ 1$$.

Проверим область определения: при $$x=0$$ и $$x=-9$$ подлогарифмические выражения не положительны, поэтому эти значения не подходят. Подходит только $$x=1$$.

Ответ: $$1$$

в) Приравниваем аргументы логарифмов:

$$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x+1}{x+2}$$

Так как $$2x-4=2(x-2)$$, то при $$x\ne 2$$ имеем:

$$\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac{x+1}{x+2}$$

$$\frac12=\frac{x+1}{x+2}$$

$$x+2=2x+2$$

$$x=0$$

Проверка: при $$x=0$$ оба аргумента положительны, значит решение подходит.

Ответ: $$0$$

г) Приравниваем подлогарифмические выражения:

$$\sqrt{5x-6}=\sqrt{x^2-2}$$