Упр.27.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{1}{6}}(2\sin x-1)=\log_{\frac{1}{6}}(2-\sin^2 x)$$; б) $$\log_5(2\cos^2 x-1)=\log_5(-11\cos x+5)$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_{\frac16}(2\sin x-1)=\log_{\frac16}(2-\sin^2 x).$$

Так как основания логарифмов одинаковые и больше нуля, то приравниваем аргументы:

$$2\sin x-1=2-\sin^2 x.$$

Получаем:

$$\sin^2 x+2\sin x-3=0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда

$$y^2+2y-3=0,$$

$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16.$$

Тогда

$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Значение $$\sin x=-3$$ невозможно, а при $$\sin x=1$$ имеем

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим область определения: $$2\sin x-1>0$$ и $$2-\sin^2 x>0$$. При $$\sin x=1$$ оба аргумента положительны, значит решение подходит.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_5(2\cos^2 x-1)=\log_5(-11\cos x+5).$$

Приравниваем аргументы:

$$2\cos^2 x-1=-11\cos x+5.$$

Получаем:

$$2\cos^2 x+11\cos x-6=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+11y-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=11^2-4\cdot2\cdot(-6)=169,$$

$$y_1=\frac{-11-13}{4}=-6,\qquad y_2=\frac{-11+13}{4}=\frac12.$$

Значение $$\cos x=-6$$ невозможно, а при $$\cos x=\frac12$$ получаем

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим ОДЗ:

$$2\cos^2 x-1>0,\qquad -11\cos x+5>0.$$

При $$\cos x=\frac12$$ имеем

$$2\cdot\left(\frac12\right)^2-1=-\frac12<0,$$

то есть аргумент первого логарифма отрицателен. Следовательно, это значение не подходит.

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) корней нет.