Упр.27.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{10}{7}}\left(\lg(x+1)-1\right)^{-1}-\log_{0,7}\left(3\lg(x+1)-1\right)-\log_{0,7}\left(\lg(x+1)+3\right)$$;
б) $$\log_{\sqrt{3}}\left(3x-2\sqrt{3x-1}\right)=2\log_3\left(2\sqrt{3x-1}+1\right)$$.

а) Обозначим $$y=\lg(x+1).$$ Тогда уравнение примет вид

$$\log_{\frac{10}{7}}(y-1)^{-1}=\log_{0,7}(3y-1)-\log_{0,7}(y+3).$$

Так как $$\log_{\frac{10}{7}}(y-1)^{-1}=\log_{0,7}(y-1),$$ получаем

$$\log_{0,7}(y-1)=\log_{0,7}\frac{3y-1}{y+3}.$$

Тогда

$$y-1=\frac{3y-1}{y+3}.$$

Решим уравнение:

$$\begin{aligned} (y-1)(y+3)&=3y-1,\\ y^2+2y-3&=3y-1,\\ y^2-y-2&=0,\\ (y-2)(y+1)&=0. \end{aligned}$$

Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1.$$

Переходим к переменной $$x$$:

$$\lg(x+1)=2 \Rightarrow x+1=100 \Rightarrow x=99,$$

$$\lg(x+1)=-1 \Rightarrow x+1=0,1 \Rightarrow x=-0,9.$$

Проверим область определения:

$$y-1>0,\quad 3y-1>0,\quad y+3>0.$$

Значит, $$y>1$$ и подходит только $$y=2.$$ Следовательно, $$x=99.$$

Ответ

$$99$$

б) Перепишем уравнение:

$$\log_{\sqrt{3}}(3x-2\sqrt{3x-1})=2\log_3(2\sqrt{3x-1}+1).$$

Так как $$\sqrt{3} = 3^{1/2},$$ то

$$\log_{\sqrt{3}}A=2\log_3A,$$

поэтому уравнение равносильно

$$2\log_3(3x-2\sqrt{3x-1})=2\log_3(2\sqrt{3x-1}+1).$$

Отсюда

$$3x-2\sqrt{3x-1}=2\sqrt{3x-1}+1.$$

Пусть $$t=\sqrt{3x-1}.$$ Тогда

$$3x=t^2+1,$$

и получаем

$$t^2+1-2t=2t+1,$$

$$t^2-4t=0,$$

$$t(t-4)=0.$$

Следовательно, $$t=0$$ или $$t=4.$$

Возвращаясь к $$x$$, имеем:

$$\sqrt{3x-1}=0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13,$$

$$\sqrt{3x-1}=4 \Rightarrow 3x-1=16 \Rightarrow x=\frac{17}{3}.$$

Проверка области определения:

$$3x-1\ge 0,\quad 3x-2\sqrt{3x-1}>0,\quad 2\sqrt{3x-1}+1>0.$$

Оба найденных значения подходят.

Ответ

$$\frac13;\ \frac{17}{3}$$