Упр.27.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение

$$10^{\ln^2(3x-e)-5\ln(2x+e)}=(0,1)^{\ln(2x+e)^5-1}.$$

Так как $$0,1=10^{-1},$$ получаем

$$10^{\ln^2(3x-e)-5\ln(2x+e)}=10^{1-5\ln(2x+e)}.$$

Тогда

$$\ln^2(3x-e)-5\ln(2x+e)=1-5\ln(2x+e),$$

откуда

$$\ln^2(3x-e)=1.$$

Следовательно,

$$\ln(3x-e)=\pm 1.$$

1) Если $$\ln(3x-e)=1,$$ то

$$3x-e=e,$$

$$3x=2e,$$

$$x=\frac{2e}{3}.$$

2) Если $$\ln(3x-e)=-1,$$ то

$$3x-e=\frac{1}{e},$$

$$3x=e+\frac{1}{e},$$

$$x=\frac{e^2+1}{3e}.$$

Проверим область определения:

$$3x-e>0,\qquad 2x+e>0.$$

Оба найденных значения удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $$\frac{2e}{3},\ \frac{e^2+1}{3e}.$$

б) Решим уравнение

$$\lg(9^x+3^{x+1}-1)-\lg(3^x-2\cdot 9^x)=0.$$

Перенесём логарифмы в один:

$$\lg\frac{9^x+3^{x+1}-1}{3^x-2\cdot 9^x}=0.$$

Значит,

$$\frac{9^x+3^{x+1}-1}{3^x-2\cdot 9^x}=1,$$

откуда

$$9^x+3^{x+1}-1=3^x-2\cdot 9^x.$$

Положим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда $$9^x=t^2,$$ и получаем

$$t^2+3t-1=t-2t^2,$$

$$3t^2+2t-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac13,\qquad t_2=-1.$$

Так как $$t>0,$$ то подходит только $$t=\frac13.$$ Тогда

$$3^x=\frac13=3^{-1},$$

$$x=-1.$$

Проверка области определения:

$$3^x-2\cdot 9^x>0.$$

При $$x=-1$$ это условие выполняется.

Ответ: $$-1.$$