Упр.27.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\ln(0{,}2x-7)=\ln(9-3\cdot0{,}2x);$$
   б) $$9^{\log_3(x)}-12\cdot3^{\log_3(x)}+3^{\log_3(27)}=0;$$
   в) $$e^{\lg(x-2)}\cdot\frac{1}{e}=(e^{-1})^{\lg(x+1)};$$
   г) $$\log_5\left(2+3\cdot5^{-x}\right)=x+1.$$

а) $$\ln(0{,}2^x-7)=\ln(9-3\cdot 0{,}2^x)$$

Так как логарифмы равны, то равны их аргументы:

$$0{,}2^x-7=9-3\cdot 0{,}2^x$$

$$4\cdot 0{,}2^x=16$$

$$0{,}2^x=4$$

Но при этом должны выполняться условия области определения:

$$0{,}2^x-7>0,\qquad 9-3\cdot 0{,}2^x>0$$

$$0{,}2^x>7,\qquad 0{,}2^x<3$$

Одновременно эти неравенства выполниться не могут, значит, корней нет.

б) $$9^{\log_3 x}-12\cdot 3^{\log_3 x}+3^{\log_3 27}=0$$

Положим $$t=3^{\log_3 x}=x$$, тогда

$$9^{\log_3 x}=\left(3^2\right)^{\log_3 x}=\left(3^{\log_3 x}\right)^2=t^2$$

и $$3^{\log_3 27}=27.$$ Получаем:

$$t^2-12t+27=0$$

$$D=12^2-4\cdot 27=144-108=36$$

$$t_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2}$$

$$t_1=3,\qquad t_2=9$$

Так как $$x>0$$, оба корня подходят.

в) $$e^{\lg(x-2)}\cdot \frac1e=(e^{-1})^{\lg(x+1)}$$

Перепишем:

$$e^{\lg(x-2)-1}=e^{-\lg(x+1)}$$

Тогда

$$\lg(x-2)-1=-\lg(x+1)$$

$$\lg(x-2)+\lg(x+1)=1$$

$$\lg\bigl((x-2)(x+1)\bigr)=\lg 10$$

$$(x-2)(x+1)=10$$

$$x^2-x-12=0$$

$$D=1+48=49$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$

$$x_1=4,\qquad x_2=-3$$

По области определения: $$x-2>0,\ x+1>0$$, значит $$x>2$$. Подходит только $$x=4$$.

г) $$\log_5(2+3\cdot 5^{-x})=x+1$$

Преобразуем правую часть:

$$x+1=\log_5 5^{x+1}$$

Тогда

$$2+3\cdot 5^{-x}=5^{x+1}$$

Умножим на $$5^x$$:

$$2\cdot 5^x+3=5^{2x+1}=5\cdot 5^{2x}$$

Положим $$t=5^x>0$$. Получаем:

$$5t^2-2t-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 8}{10}$$

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac35$$

Так как $$t>0$$, подходит только $$t=1$$, то есть

$$5^x=1 \Rightarrow x=0$$

Проверка области определения: $$2+3\cdot 5^{-x}>0$$ выполняется.

Ответ: а) корней нет; б) $$3,\,9$$; в) $$4$$; г) $$0$$.