Упр.27.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда уравнение примет вид

$$t^2-7t+12=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-3\right)\left(t-4\right)=0.$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=4.$$ Тогда

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8,$$

$$\log_2 x=4 \Rightarrow x=2^4=16.$$

Ответ: $$8;\ 16.$$

Решение

б) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{x}=-\log_{\sqrt{2}}\sqrt{x}=-\log_2 x=-t,$$ и уравнение можно записать так:

$$t^2+6t+8=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$\left(t+2\right)\left(t+4\right)=0,$$

значит, $$t=-2$$ или $$t=-4.$$ Тогда

$$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\frac14,$$

$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac1{16}.$$

Ответ: $$\frac1{16};\ \frac14.$$

Решение

в) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$9\log_8^2 x=11\log_2 x+12.$$

Так как $$\log_8 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 8}=\frac{t}{3},$$ получаем

$$9\left(\frac{t}{3}\right)^2=11t+12,$$

$$t^2-11t-12=0.$$

Решаем:

$$\left(t-12\right)\left(t+1\right)=0,$$

откуда $$t=12$$ или $$t=-1.$$ Тогда

$$\log_2 x=12 \Rightarrow x=2^{12}=4096,$$

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac12.$$

Ответ: $$0{,}5;\ 4096.$$

Решение

г) Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$\sqrt{\log_2 x+11}=3\log_8 x-1.$$

Так как $$\log_8 x=\frac13\log_2 x=\frac{t}{3},$$ получаем

$$\sqrt{t+11}=t-1.$$

Возведём в квадрат:

$$t+11=t^2-2t+1,$$

$$t^2-3t-10=0.$$

Решаем:

$$\left(t-5\right)\left(t+2\right)=0,$$

значит, $$t=5$$ или $$t=-2.$$

Проверим по области допустимых значений: $$t-1\ge 0,$$ то есть $$t\ge 1.$$ Поэтому $$t=-2$$ не подходит.

Тогда $$\log_2 x=5,$$ откуда

$$x=2^5=32.$$

Ответ: $$32.$$