Упр.27.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{0,2}\left(\sqrt{5x-4}\right)=\log_{0,2}(x)$$; б) $$\log_{7}\left(\sqrt{3x^2-7x+9}\right)=\log_{7}(x+2)$$; в) $$\log_{3}(x-1)-\log_{3}\left(\sqrt{6x-11}\right)$$; г) $$\log_{0,4}(x)=\log_{0,4}\left(\sqrt{x^2+x}\right)$$.

а) $$\log_{0,2}\sqrt{5x-4}=\log_{0,2}x$$

Так как основания логарифмов одинаковые и больше нуля, то приравниваем аргументы:

$$\sqrt{5x-4}=x.$$

Возведём в квадрат:

$$5x-4=x^2,$$

$$x^2-5x+4=0,$$

$$x_1=1,\quad x_2=4.$$

Проверим область определения:

$$5x-4\ge 0,\quad x>0.$$

Оба корня подходят.

б) $$\log_7\sqrt{3x^2-7x+9}=\log_7(x+2)$$

Приравниваем аргументы:

$$\sqrt{3x^2-7x+9}=x+2.$$

Возводим в квадрат:

$$3x^2-7x+9=(x+2)^2,$$

$$3x^2-7x+9=x^2+4x+4,$$

$$2x^2-11x+5=0.$$

$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 5=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{11\pm 9}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=5,\quad x_2=\frac12.$$

Проверка области определения:

$$3x^2-7x+9\ge 0,\quad x+2>0.$$

Оба корня подходят.

в) $$\log_3(x-1)=\log_3\sqrt{6x-11}$$

Приравниваем аргументы:

$$x-1=\sqrt{6x-11}.$$

Возводим в квадрат:

$$x^2-2x+1=6x-11,$$

$$x^2-8x+12=0,$$

$$D=8^2-4\cdot 12=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$

Тогда:

$$x_1=2,\quad x_2=6.$$

Проверка области определения:

$$x-1>0,\quad 6x-11\ge 0.$$

Оба корня подходят.

г) $$\log_{0,4}x=\log_{0,4}\sqrt{x^2+x}$$

Приравниваем аргументы:

$$x=\sqrt{x^2+x}.$$

Возводим в квадрат:

$$x^2=x^2+x,$$

$$x=0.$$

Но область определения требует:

$$x>0,\quad x^2+x\ge 0.$$

Значение $$x=0$$ не подходит, значит корней нет.

Ответ

а) $$1; 4$$
б) $$\frac12; 5$$
в) $$2; 6$$
г) корней нет.