Упр.27.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$0{,}5(\sin x-\cos x)=1$$; б) $$\sqrt{3}(\sin2(x)\cdot3\sqrt{3}=\sqrt[4]{729}$$

а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1.$$

Так как $$1=0{,}5^0,$$ то показатели степеней равны:

$$\sin x-\cos x=0.$$

Тогда

$$\sin x=\cos x,$$

$$\tg x=1.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\sqrt3\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt3=\sqrt[4]{729}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\sqrt[4]{729}=\sqrt[4]{3^6}=3^{6/4}=3^{3/2}=3\sqrt3.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\left(\sqrt3\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt3=3\sqrt3.$$

Делим обе части на $$3\sqrt3$$:

$$\left(\sqrt3\right)^{\sin^2 x-1}=1.$$

Так как $$\sqrt3\neq 1,$$ то

$$\sin^2 x-1=0,$$

$$\sin^2 x=1,$$

$$\sin x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$