Упр.27.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 27.39. Решите уравнение:
   а) $$2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$;
   б) $$3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}}=24$$;
   в) $$3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$;
   г) $$5^x \cdot 2^{\frac{2+x}{x}}=40$$.

а) $$2^x\cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$

$$50=2\cdot 5^2,$$

$$2^x\cdot 5^{\frac{1}{x}+1}=2\cdot 5^2,$$

$$2^x\cdot 5^{\frac{1}{x}}=2\cdot 5.$$

Прологарифмируем обе части по основанию $$5$$:

$$x\log_5 2+\frac{1}{x}\log_5 5=\log_5 2+1.$$

Так как $$\log_5 5=1,$$ получаем

$$x\log_5 2+\frac{1}{x}=\log_5 2+1.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2\log_5 2+1=x\log_5 2+x,$$

$$x^2\log_5 2-x\log_5 2-x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x\log_5 2-1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{\log_5 2}=\log_2 5.$$

б) $$3^x\cdot 2^{\frac{3}{x}}=24$$

$$24=3\cdot 2^3,$$

$$3^x\cdot 2^{\frac{3}{x}}=3\cdot 2^3.$$

Прологарифмируем по основанию $$2$$:

$$x\log_2 3+\frac{3}{x}=1+3.$$

$$x\log_2 3+\frac{3}{x}=4.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2\log_2 3-4x+3=0.$$

Проверим корни:

$$x=1,\quad x=3\log_3 2.$$

в) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$

$$625=5^4,\quad 225=3^2\cdot 5^2,$$

$$3^{x-1}\cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}=3^2\cdot 5^2.$$

Прологарифмируем по основанию $$3$$:

$$x-1+\frac{4(x-2)}{x-1}\log_3 5=2+2\log_3 5.$$

Умножим на $$x-1$$:

$$\left(x-1\right)^2+\left(2\log_3 5-2\right)\left(x-1\right)-4\log_3 5=0.$$

Положим $$y=x-1$$. Тогда

$$y^2+\left(2\log_3 5-2\right)y-4\log_3 5=0.$$

$$D=\left(2\log_3 5-2\right)^2+16\log_3 5=\left(2\log_3 5+2\right)^2.$$

Тогда

$$y_1=-2\log_3 5,\quad y_2=2.$$

Следовательно,

$$x_1=1-2\log_3 5=\log_3\frac{3}{25}=\log_3 0{,}12,$$

$$x_2=3.$$

г) $$5^x\cdot 2^{\frac{2+x}{x}}=40$$

$$40=2^3\cdot 5,$$

$$5^x\cdot 2^{1+\frac{2}{x}}=2^3\cdot 5,$$

$$5^x\cdot 2^{\frac{2}{x}}=2^2\cdot 5.$$

Прологарифмируем по основанию $$5$$:

$$x+\frac{2}{x}\log_5 2=1+2\log_5 2.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2-\left(1+2\log_5 2\right)x+2\log_5 2=0.$$

$$D=\left(1-2\log_5 2\right)^2.$$

Тогда

$$x_1=1,\quad x_2=2\log_5 2=\log_5 4.$$

Ответ

а) $$1,\ \log_2 5$$; б) $$1,\ 3\log_3 2$$; в) $$\log_3 0{,}12,\ 3$$; г) $$1,\ \log_5 4$$.