Упр.27.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$8\sqrt{x}-3\cdot4\sqrt{x}-3\cdot2(\sqrt{x}+1)+8=0$$;

б) $$4\log_5(x)-6\cdot2\log_5(x)+2\log_5(125)=0$$.

а) Обозначим $$y=2^{\sqrt{x}}.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$y^3-3y^2-6y+8=0.$$

Разложим на множители:

$$y^3-3y^2-6y+8=(y-1)(y^2-2y-8)=0.$$

Отсюда

$$y=1,\quad y=4,\quad y=-2.$$

Так как $$y=2^{\sqrt{x}}>0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит.

1) $$2^{\sqrt{x}}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$

2) $$2^{\sqrt{x}}=4=2^2 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

Итак, $$x=0$$ и $$x=4$$.

б) Обозначим $$y=2^{\log_5 x}.$$ Тогда

$$4^{\log_5 x}-6\cdot 2^{\log_5 x}+2^{\log_5 125}=0.$$

Преобразуем:

$$2^{2\log_5 x}-6\cdot 2^{\log_5 x}+2^3=0,$$

так как $$\log_5 125=3.$$ Получаем

$$y^2-6y+8=0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-6y+8=(y-2)(y-4)=0.$$

Следовательно,

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=4.$$

1) $$2^{\log_5 x}=2=2^1 \Rightarrow \log_5 x=1 \Rightarrow x=5.$$

2) $$2^{\log_5 x}=4=2^2 \Rightarrow \log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$

Оба значения подходят, так как $$x>0.$$

Ответ: а) $$0; 4$$; б) $$5; 25$$.