Упр.27.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin^3(x)-\sin^2(x)\cos(x)+3\cos^3(x)=3\sin(x)\cos^2(x)$$; б) $$\sin^3(x)+5\sin^2(x)\cos(x)=6\cos^3(x)$$.

а) $$\sin^3 x-\sin^2 x\cos x+3\cos^3 x=3\sin x\cos^2 x$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$\sin^3 x-\sin^2 x\cos x+3\cos^3 x-3\sin x\cos^2 x=0$$

$$\sin^2 x(\sin x-\cos x)-3\cos^2 x(\sin x-\cos x)=0$$

$$\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2 x-3\cos^2 x\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x-3\cos^2 x=0.$$

1) $$\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tan x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin^2 x-3\cos^2 x=0 \Rightarrow \tan^2 x=3,$$

$$\tan x=\pm\sqrt3,$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin^3 x+5\sin^2 x\cos x=6\cos^3 x$$

Разделим на $$\cos^3 x$$:

$$\tan^3 x+5\tan^2 x=6.$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$t^3+5t^2-6=0.$$

Разложим на множители:

$$t^3+5t^2-6=(t-1)(t^2+6t+6)=0.$$

Следовательно,

$$t=1 \quad \text{или} \quad t^2+6t+6=0.$$

Из квадратного уравнения:

$$t=\frac{-6\pm\sqrt{36-24}}{2}=-3\pm\sqrt3.$$

Тогда

$$\tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tan x=-3\pm\sqrt3 \Rightarrow x=\arctan(-3\pm\sqrt3)+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctan(-3+\sqrt3)+\pi n,\ \arctan(-3-\sqrt3)+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$